अभ्यास 1.1
प्र०1. युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से HCF ज्ञात कीजिये |
(i) 135 और 225 (ii) 196 और 38220 (iii) 867 और 255
हल:
(1) 135 और 225
a = 225, b = 135 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
225 = 135 ×1 + 90
135 = 90 ×1 + 45
90 = 45 × 2 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
b = 45 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}
HCF = 45
हल:
(ii) 196 और 38220
a = 38220, b = 196 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}
HCF = 196
हल:
(iii) 867 और 255
a = 867, b = 255 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
38220= 196 ×195 + 0 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
b = 196 {फिर उसमे से b का मान HCF होता है;}
HCF = 196
प्र०2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5, के रूप का होता है जहाँ q कोई पूर्णांक है |
हल:
दर्शाना है: a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5
माना कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है; जहाँ b = 6 होगा,
जब हम 6 से a को विभाजित करते है जो शेषफल क्रमश: 0, 1, 2, 3, 4 और 5 पाते है;
जहाँ 0 ≤ r < b
यहाँ a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है |
शेषफल होगा 1 या 3 या 5
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से हम पाते है;
a = 6q + 1, 6q+3 या 6q+5
प्र०3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है | दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है | उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते है ?
हल:
स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF (616, 32)
a = 616, b = 32 {सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते है }
युक्लिड विभाजन अल्गोरिथम के प्रयोग से
a = bq + r (तब)
616 = 32 ×19 + 8 {जब हमें r=0 प्राप्त हो जाता है तो हम आगे हल करना बंद कर देते है }
32 = 8 × 4 + 0
b = 8 {b का मान HCF होता है}
HCF = 8
इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8
प्र०4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है |
हल :
दर्शाना है : a2 = 3m or 3m + 1
a = bq + r
माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहाँ b = 3 और r = 0, 1, 2 क्योंकि 0 ≤ r < 3
तब a = 3q + r कुछ पूर्णांक के लिए q ≥ 0
इसलिए, a = 3q + 0 or 3q + 1 or 3q + 2
अब हम पाते है;
⇒ a2 = (3q + 0)2 or (3q + 1)2 or (3q +2)2
⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 4
⇒ a2 = 9q2 or 9q2 + 6q + 1 or 9q2 + 12q + 3 + 1
⇒ a2 = 3(3q2) or 3(3q2 + 2q) + 1 or 3(3q2 + 4q + 1) + 1
यदि m = (3q2) or (3q2 + 2q) or (3q2 + 4q + 1) हो तो
हम पाते है कि ;
a2 = 3m or 3m + 1 or 3m + 1
प्र०5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |
हल:
माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;
युकिल्ड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;
a = bq + r जहाँ; 0 ≤ r < b
b = 9 रखने पर
a = 9q + r जहाँ; 0 ≤ r < 9
जब r = 0 हो;
a = 9q + 0 = 9q
a3 = (9q)3 = 9(81q3) या 9m जहाँ m = 81q3
जब r = 1 हो
a = 9q + 1
a3 = (9q + 1)3 = 9(81q3 + 27q2 + 3q) + 1
= 9m + 1 जहाँ m = 81q3 + 27q2 + 3q
जब r = 2 हो तो
a = 9q + 2
a3 = (9q + 2)3 = 9(81q3 + 54q2 + 12q) + 8
= 9m + 2 जहाँ m = 81q3 + 54q2 + 12q
अत: किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है |
