प्रायिकता 15.1
Q1. निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = ............है |
(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती .........है | ऐसी घटना .........कहलाती है |
(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है .........है | ऐसी घटना .........कहलाती है |
(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग........है |
(v) किसी घटना की प्रायिकता........से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा.........से छोटी या उसके बराबर होती है |
उत्तर :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = 1 है |
(ii) उस घटना कि प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है | ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है |
(iii) उस घटना कि प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है | ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है |
(iv) किसी प्रयोग कि सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है |
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है |
Q2. निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं ? स्पष्ट कीजिए |
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है | कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है |
उत्तर : समप्रायिक है |
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबौल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है | वह बास्केट में बौल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है |
उत्तर : समप्रायिक है |
(iii) एक सत्य - असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है | उत्तर सही है या गलत होगा |
उत्तर : समप्रायिक है |
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है | वह एक लड़का है या एक लड़की है |
उत्तर : समप्रायिक है |
Q3. फुटबौल के खेल को प्रांरभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बौल लेगी, इसके लिए सिक्का उछलना एक न्यायसंगत विधि क्योँ माना जाता है ?
उत्तर : क्योंकि सिक्का उछालना एक समप्रायिक घटना है |
Q4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) 2/3
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
उत्तर : (B) -1.5 [क्योंकि किसी भी प्रायिकता की सीमा 0 से 1 के बीच होती है|]
Q5. यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' कि प्रायिकता क्या है ?
हल : दिया है (E) = 0.05
हम जानते हैं कि P(E) + P(E) नहीं = 1
=> 0.05 + P(E) नहीं = 1
=> P(E) नहीं = 1 - 0.05
=> P(E) नहीं = 0.95 उत्तर
Q6. एक थैले में केवल नींबू कि महक वाली मीठी गोलियाँ हैं | मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे कि महक वाली है ?
Q7. यह दिया हुआ है कि 3 विधार्थियों के एक समूह में से 2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने कि प्रायिकता 0.9992 है | इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विधार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ?
हल : दिया है : P(E नहीं) = 0.9992
हम जानते है कि P(E) + P(E नहीं) = 1
अत: P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) + P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही न दिन हो) = 1
=> P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) + 0.9992 = 1
=> P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) = 1 - 0.9992
=> P(2 विधार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हो) = 0.008 उत्तर
Q8. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं | इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है| इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो
(ii) लाल नहीं हो ?
Q9. एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं | इस डिब्बे में से एक कंचा
(i) लाल है ?
(ii) सफेद है ?
(iii) हरा नहीं है ?
Q10. एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के है, 1 रू के पचास सिक्के हैं, 2 रू के बीस सिक्के और 5 के 10 सिक्के हैं | यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने अपर कोई एक सिक्का गिराने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा ?
(ii) 5 रू का नहीं होगा ?
हल : 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
1 रुपये के सिक्के = 50
2 रुपये के सिक्के = 20
5 रुपये के सिक्के = 10
कुल सिक्कों की संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
Q11. गोपी अपने जल - जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है | दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति 15.4) | इसकी प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है ?
Q12. संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1,2,3,4,5,6,7, और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति 15.5 ) | यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा ?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा ?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा ?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा ?
हल : कुल संख्या = 8
(i) 8 को करेगा ?
8 की संख्या = 1
Q13. एक पासे को एक बार फेंका जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या
हल : (i) एक अभाज्य संख्या
पासे पर अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6
एक पासे में कुल अंक = 6
अभाज्य संख्या = 2, 3, 5
Q14. 52 पत्तों कि अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकला जाता है | निम्नलिखित को प्राप्त करने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट कि बेगम
Q15. ताश के पाँच पत्तों - ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का - को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है | फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है |
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य निकाला जाता
है | इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता
(a) एक इक्का है ?
(b) एक बेगम है ?
हल : निकाले गए कुल पत्तों की संख्या = 5
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है |
बेगम की संख्या = 1
Q16. किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं | केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है | इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है | निकले गए पेन कि अच्छा होने कि प्रायिकता ज्ञात कीजिए |
हल : ख़राब और अच्छे मिलाकर कुल पेन = 12 + 132 = 144
अच्छे पेन की संख्या = 132
Q17. (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं | इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?
हल : कुल बल्बों की संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
Q18. एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं | यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों कि एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |
हल : कुल अंकित संख्याएँ = 90
(i) दो अंकों कि एक संख्या
दो अंकों की संख्याओं की संख्या = 81
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या |
1 से 90 के बीच पाँच से विभाज्य संख्या : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90
Q19. एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित है :
इस पासे को एक बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो ?
(ii) D प्राप्त हो ?
Q20. मान लीजिये आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं | इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा ?
Q21. 144 बाल पेनों के एक समूह में 20 बाल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं | आप वाही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे | दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे ?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे ?
Q22. उदाहरण 13 को देखिए | (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :
(ii) एक विधार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है | अतः प्रत्येक कि प्रायिकता 1/11 है|' क्या आप इस तर्क से सहमत है ? सकारण उत्तर दीजिए |
(ii) एक विधार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 और 12 है | अतः प्रत्येक कि प्रायिकता 1/11 है|' क्या आप इस तर्क से सहमत है ? सकारण उत्तर दीजिए |
हल : (i)
पासे के अंक का योग 2 के संभावित परिणाम = (1, 1)
पासे के अंक का योग 3 के संभावित परिणाम = (1, 2), (2, 1)
पासे के अंक का योग 4 के संभावित परिणाम = (1, 3), (3, 1), (2, 2)
पासे के अंक का योग 5 के संभावित परिणाम = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
पासे के अंक का योग 6 के संभावित परिणाम = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
पासे के अंक का योग 7 के संभावित परिणाम = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
पासे के अंक का योग 8 के संभावित परिणाम = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
पासे के अंक का योग 9 के संभावित परिणाम = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
पासे के अंक का योग 10 के संभावित परिणाम = (4, 6), (5, 5), (6, 4)
पासे के अंक का योग 11 के संभावित परिणाम = (5, 6), (6, 5)
पासे के अंक का योग 12 के संभावित परिणाम = (6, 6)
निम्न आँकडों से सारणी पूरा करने पर -
Q23. एक खेल में एक रूपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है | तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा | हनीफ के खेल में हार जाने कि प्रायिकता परिकलित कीजिए |
हल : तीन सिक्के उछालने के बाद परिणाम : HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT
जीत के लिए : HHH या TTT
जीत के लिए अनुकूल परिणाम = 2
कुल परिणाम = 8
Q24.एक पासे को दो बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा ?
(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा ?
[संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है |]
हल : कुल परिणाम = 6 × 6 = 36
5 अंक आने की संभावना = (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
Q25. निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य है और कौन से तर्क असत्य है ? सकारण उत्तर दीजिए |
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम - दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं | अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम कि प्रायिकता 1/3 है |
उत्तर : ये तर्क असत्य है |
दो सिक्के उछालने पर परिणाम : HH, TH, HT, TT
कुल परिणाम = 4
