प्रश्नावली 4.1
Q1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण है:
(i) (x + 1)2 = 2(x - 3)
हल :
(x + 1)2 = 2(x - 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x - 6
⇒ x2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x2 + 7 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = 0 और c = 7 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(ii) x2 - 2x = (-2) (3 - x)
हल :
x2 - 2x = - 6 + 2x
⇒ x2 - 2x - 2x + 6 = 0
⇒ x2 - 4x + 6 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 4 और c = 6 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(iii) (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
हल : (x - 2) (x + 1) = ( x - 1) (x + 3)
⇒ x2 + x - 2x -2 = x2 + 3x - x - 3
⇒ x2 - x2+ x + x - 2x + 3x -2 + 3 = 0
⇒ 2x - x - 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(iv) (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
हल : (x - 3) (2x +1) = x( x + 5)
⇒ 2x2 + x - 6x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - 5x - 3= x2 + 5x
⇒ 2x2 - x2 - 5x - 5x - 3 = 0
⇒ x2 - 10x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 1, b = - 10 और c = - 3 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(v) (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
हल : (2x - 1) 2(x - 3 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ (2x - 1) (2x - 6 ) = (x + 5) (x - 1)
⇒ 4x2 - 12x - 2x + 6 = x2 + 4x - 5
⇒ 4x2 - 14x + 6 = x2 - x + 4x - 5
⇒ 4x2 - x2 - 14x - 4x + 6 + 5 = 0
⇒ 3x2 - 18x + 11 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 3, b = - 18 और c = 11 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
(vi) x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
हल : x2 + 3x + 1 = (x - 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 - 2x +4
⇒x2 - x2 + 4x + 3x + 1 - 4 = 0
⇒ 7x - 3 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 - 1)
हल :(x + 2)3 = 2x( x2 - 1)
⇒ x3 + 8 + 6 + 12x = 2x3 - 2x
⇒ 2x3 - x3 - 6-12x + 2x - 8 = 0
⇒ x3 - 6x2 -10x - 8 =0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है |
... यह द्विघात समीकरण नहीं है |
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
हल : x3 - 4x2 - x + 1 = (x - 2 )3
⇒x3 - 4x2 - x + 1 = x3 - 8 + 6x2 + 12x
⇒ x3 - x3 - 4x2 + 6x2 -12x + 1 = 0
⇒ 2x2 -13x + 1 = 0
ax2 + bx + c = 0 के रूप में व्यक्त करने पर
a = 2, b = - 13 और c = 1 प्राप्त होता है
चूँकि a ≠ 0 है, अत: यह द्विघात समीकरण है |
Q2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरुपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है | क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है | हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है |
हल : एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई = x m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2x + 1 m
आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = 528 m2
लंबाई x चौड़ाई = 528
(2x + 1)x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x - 528 = 0
2x2 + 33x - 32x - 528 = 0
x(2x + 33) - 16(2x + 33 ) = 0
(2x + 33) (x - 16) = 0
2x + 33 = 0 तथा x - 16 = 0
आयताकार भूखंड की चौड़ाई = X m
= 16 m
आयताकार भूखंड की लंबाई = 2X+ 1 m
= 2 x 16 + 1 m
= 32 + 1 m
= 33m
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है |
हल : दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
माना पहला धनात्मक पूर्णाक = x
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल = 306
पहला धनात्मक पूर्णाक x दूसरा धनात्मक पूर्णाक = 306
(x + 1)x = 306
x2 + x = 306
x2 + x - 306 = 0
2x2 + 18x - 17x - 306 = 0
x(x + ) - 17(x + 18 ) = 0
(x + 18) (x - 17) = 0
x + 18 = 0 तथा x - 17 = 0
= 17
दूसरा धनात्मक पूर्णाक = x + 1
= 17 + 1
= 18
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है |उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी| हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करणी है |
हल : माना रोहन की वर्तमान आयु = x
रोहन की माँ की आयु = x + 26
तीन वर्ष पश्चात रोहन की आयु = x + 3
तीन वर्ष पश्चात रोहन की माँ की आयु = x + 26 + 3
= x + 29
दोनो की आयु का गुणनफल = 306
(x + 29)(x + 3) = 306
x2 + 29x + 3x + 87 = 306
x2 + 32x + 87 = 306
x2 + 32x = 273
x2 + 32x - 273 = 0
x2 + 39x - 7x - 273 = 0
x2 + 39x - 7x - 273 =0
x(x + 39) - 7(x + 39) = 0
(x + 39) (x - 7) = 0
x + 39 = 0 तथा x - 7 = 0
= 7 + 26
= 33 वर्ष
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दुरी समान चाल से तय करती है | यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती | हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है|
हल :
माना रेलगाड़ी की समान्य चाल x km/h है |
दुरी = 480 km
