प्रश्नावली 6.1
Q1. निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के ईकाई के अंक क्या होंगे?
(i) 81
हल: 81 × 81 में इकाई का अंक 1 का वर्ग 1 × 1 = 1 में इकाई का अंक 1 प्राप्त होता है |
इसलिए 81 के वर्ग में इकाई का अंक 1 होगा |
(ii) 272
हल: 272 × 272 में इकाई का अंक 2 है और 2 का वर्ग 2 × 2 = 4 में इकाई का अंक भी 4 ही प्राप्त होता है |
इसलिए 272 के वर्ग में इकाई का अंक 4 होगा |
(iii) 799
हल: 799 × 799 में इकाई का अंक 9 है और 9 का वर्ग 9 × 9 = 81 में इकाई का अंक 1 प्राप्त होता है |
इसलिए 799 के वर्ग में इकाई का अंक 1 होगा |
(iv) 3853
हल: 3853 × 3853 में इकाई का अंक 3 है और 3 का वर्ग 3 × 3 = 9 में इकाई का अंक भी 9 प्राप्त होता है |
इसलिए 3853 के वर्ग में इकाई का अंक 9 होगा |
(v) 1234
हल: 1234 × 1234 में इकाई का अंक 4 है और 4 का वर्ग 4 × 4 = 16 में इकाई का अंक भी 6 प्राप्त होता है |
इसलिए 1234 के वर्ग में इकाई का अंक 6 होगा |
(vi) 26387
हल: 26387 × 26387 में इकाई का अंक 7 है और 7 का वर्ग 7 × 7 = 49 में इकाई का अंक भी 9 प्राप्त होता है |
इसलिए 26387 के वर्ग में इकाई का अंक 9 होगा |
(vii) 52698
हल: 52698 × 52698 में इकाई का अंक 8 है और 8 का वर्ग 8 × 8 = 64 में इकाई का अंक भी 4 प्राप्त होता है |
इसलिए 52698 के वर्ग में इकाई का अंक 4 होगा |
(viii) 99880
हल: 99880 × 99880 में इकाई का अंक 0 है और 0 का वर्ग 0 × 0 = 0 में इकाई का अंक भी 0 प्राप्त होता है |
इसलिए 99880 के वर्ग में इकाई का अंक 0 होगा |
(ix) 12796
हल: 12796 × 12796 में इकाई का अंक 6 है और 6 का वर्ग 6 × 6 = 36 में इकाई का अंक भी 6 प्राप्त होता है |
इसलिए 12796 के वर्ग में इकाई का अंक 6 होगा |
(x) 55555
हल: 55555 × 55555 में इकाई का अंक 5 है और 5 का वर्ग 5 × 5 = 25 में इकाई का अंक भी 5 प्राप्त होता है |
इसलिए 55555 के वर्ग में इकाई का अंक 5 होगा |
Q2. निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्टरूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं है, इसका कारण दिजिए |
(i) 1057
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 1057 में इकाई का अंक 7 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(ii) 23453
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 23453 में इकाई का अंक 3 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(iii) 7928
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 7928 में इकाई का अंक 8 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(iv) 222222
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 222222 में इकाई का अंक 2 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(v) 64000
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 64000 में इकाई का अंक 0 तो है, परन्तु युग्म (जोड़े) में नहीं है| अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(vi) 89722
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 89722 में इकाई का अंक 2 है अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(vii) 222000
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 222000 में इकाई का अंक 0 तो है, परन्तु युग्म (जोड़े) में नहीं है| अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
(viii) 505050
हल: पूर्ण वर्ग संख्याओं के इकाई का अंक 1, 4, 5, 6, 9 और 0 युग्म (जोड़े) में होता है जबकि 505050 में इकाई का अंक 0 तो है, परन्तु युग्म (जोड़े) में नहीं है| अत: यह स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है |
Q3. निम्नलिखित संख्याओ में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा ?
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
हल: (i) 431
431 × 431 में इकाई के अंक 1 का वर्ग 1 है और इकाई का अंक भी विषम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 431 के वर्ग एक विषम संख्या होगा |
हल: (ii) 2826
2826 × 2826 में इकाई के अंक 6 का वर्ग 36 है और इकाई का अंक 6 एक सम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 2826 के वर्ग एक विषम संख्या नहीं होगा |
हल: (iii) 7779
7779 × 7779 में इकाई के अंक 9 का वर्ग 81 है और इकाई का अंक 1 एक विषम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 7779 के वर्ग एक विषम संख्या होगा |
हल: (iv) 82004
82004 × 82004 में इकाई के अंक 4 का वर्ग 16 है और इकाई का अंक 6 एक सम संख्या प्राप्त होगा इसलिए 82004 के वर्ग एक विषम संख्या नहीं होगा |
