अभ्यास 6.1
Q1. आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए |
हल:
∠BOD = 40°
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AOC = 40°
∠AOC + ∠ BOE = 70° (दिया है)
∠BOE = 70°
∠BOE = 70° - 40°
∠BOE = 30°
चूँकि, AOB एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠AOC + ∠COE +∠BOE = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 70° + ∠COE = 180°
⇒ ∠COE = 180° - 70°
⇒ ∠COE = 110°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360 - 110°
= 250°
Q2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है तो c ज्ञात कीजिए |
हल :
∠POY=90° (दिया है)
माना ∠a और ∠b = 2x और 3x है |
चूँकि, XOY एक सरल रेखा है |
इसलिए, ∠a + ∠b + ∠POY = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 2x + 3x + 90°= 180°
⇒ 5x = 180° - 90°
⇒ 5x = 90°
⇒ x = 90°/5
⇒ x = 18°
अब, ∠a = 2 x 18°
= 36°
∠b =3 x 18°
= 54°
यहाँ, MON भी एक सरल रेखा है |
∠b + ∠c = 180°(रैखिक युग्म)
∠54° + ∠c = 180°
⇒∠c = 180°- 54°
=126°
Q3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है |
हल :
दिया है : ∠PQR = ∠PRQ
सिद्ध करना है : ∠PQS = ∠PRT
प्रमाण :
∠PQS + ∠PQR = 180° .................. (1) रैखिक युग्म
∠PRT + ∠PRQ = 180° .................. (2) रैखिक युग्म
समीकरण (1) तथा (2) से
∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
Or, ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PQR (∠PQR = ∠PRQ दिया है)
Or, ∠PQS = ∠PRT सिद्ध हुआ |
Q4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है|
हल:
दिया है : x + y = w + z
सिद्ध करना है : AOB एक सरल रेखा है |
प्रमाण : x + y + w + z = 360०
अथवा x + y + x + y = 360०
⇒ 2x + 2y = 360०
⇒ 2(x + y) = 360०
⇒ x + y = 180० (रैखिक युग्म)
जब कोई संलग्न दो कोणों का योग 180० होता है तो रेखा सीधी एवं सरल होती है |
अत: AOB एक सरल रेखा है | Proved
Q5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए :
हल:
दिया है : POQ एक रेखा है और OR ⊥ PQ तथा OS ∠POR के बीच एक किरण है |
सिद्ध करना है :
प्रमाण : ∠ROQ = 90० ( दिया है )
अब, ∠POR + ∠ROQ = 180० .... रैखिक युग्म
या ∠POR + 90० = 180०
या ∠POR = 180० - 90०
∠ROS = ∠POR - ∠POS ............... (1)
और
∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ ............... (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
∠ROS + ∠ROS = ∠QOS - ∠ROQ + ∠POR - ∠POS
अथवा 2∠ROS = ∠QOS - 90० + 90० - ∠POS
अथवा 2∠ROS = ∠QOS - ∠POS
Proved
Q6. यह दिया है कि ∠ XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠ XYQ और प्रतिवर्ती ∠ QYP के मान ज्ञात कीजिए |
हल :
∠ XYZ = 64°
YQ, ∠ ZYP को समद्विभाजित करती है;
इसलिए
∠ QYP = ∠ ZYQ ............ (1)
XY को बिंदु P तक बढाया गया है |
∴ XYP एक सरल रेखा है |
अत: ∠ XYZ + ∠ QYP + ∠ ZYQ = 180°
(रैखिक युग्म)
64° + ∠ QYP + ∠ QYP = 180°
2∠ QYP = 180° - 64°
2∠ QYP = 116°
∠ QYP = 58°
∠ QYP = ∠ ZYQ = 58°
= 64° + 58°
= 122°
प्रतिवर्ती ∠ QYP = 360° - 58° = 302°
