प्रश्नावली 7.1
Q1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है | (see Fig. 7.16). दर्शाइए Δ ABC ≅ Δ ABD है |
हल:
दिया है : AC = AD और AB ∠A को समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना : Δ ABC ≅ Δ ABD.
प्रमाण :
Δ ABC तथा Δ ABD में,
AC = AD [दिया है]
∠CAB = ∠BAD [AB ∠A समद्विभाजित करता है ]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABC ≅ Δ ABD
BC = BD [CPCT]
Q2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig.7.17) है | सिद्ध कीजिए कि :
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC
हल :
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠ DAB = ∠ CBA है |
सिद्ध करना है :
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC
प्रमाण :
(i) Δ ABD तथा Δ BAC में,
AD = BC [दिया है]
∠ DAB = ∠ CBA [दिया है]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC [By CPCT]
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC [By CPCT]
Q3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिये आकृति 7.18) | दर्शाइए कि CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
हल :
दिया है : AD ⊥ AB और BC ⊥ AB है और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
AO = BO अर्थात CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण :
∆AOD तथा ∆BOC
∠AOD = ∠ BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
∠DAO = ∠CBO (प्रत्येक 90º)
BC = AD (दिया है)
ASA सर्वांगसमता नियम से
∆AOD ≅ ∆BOC
∴ AO = BO (By CPCT)
अत: CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
Q4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है | दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है |
हल :
दिया है : l || m और p || q है जो एक दुसरे को A, B, C तथा D पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है : ∆ABC ≅ ∆CDA
प्रमाण :
l || m ........ (1) दिया है |
p || q .........(2) दिया है |
समी० (1) तथा (2) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
अब, ∆ABC तथा ∆CDA में,
BC = AD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा ]
∠B = ∠D [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख कोण ]
AC = AC [दिया है ]
SAS सर्वांगसमता नियम से
∴ ∆ABC ≅ ∆CDA Proved
Q5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है | BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिये आकृति 7.20) दर्शाइए कि :
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ हैं, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है
हल :
दिया है : ∠PAQ को रेखा l समद्विभाजित करती है और BP तथा BQ, AP तथा AQ पर क्रमश: लंब है |
सिद्ध करना है :
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ
प्रमाण :
(i) Δ APB तथा Δ AQB में,
∠APB = ∠AQB (90० प्रत्येक)
∠PAB = ∠QAB (दिया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ APB ≅ Δ AQB
∴ (ii) BP = BQ (By CPCT)
Q6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है | दर्शाइए कि BC = DE है |
हल :
दिया है : AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है |
सिद्ध करना है : BC = DE
प्रमाण :
∠ BAD = ∠ EAC ......... (1) दिया है
समी० के दोनों पक्षों में ∠ CAD जोड़ने पर
∠ BAD + ∠ CAD = ∠ EAC + ∠ CAD
या ∠ BAC = ∠ EAD ....... (2)
Δ BAC तथा Δ DAE में
AC = AE (दिया है)
AB = AD (दिया है)
∠ BAC = ∠ EAD .......समी० (2) से
SAS सर्वांगसमता नियम से
Δ BAC ≅ Δ DAE
∴ BC = DE (By CPCT) Proved
Q7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | (देखिए आकृति 7.22) |
दर्शाइए कि :
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
दिया है : AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है |
सिद्ध करना है :
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
प्रमाण :
∠ EPA = ∠ DPB .....(1) दिया है |
समी० (1) के दोनों पक्षों में ∠ EPD जोड़ने पर
∠ EPA + ∠ EPD = ∠ DPB + ∠ EPD
या ∠ DPA = ∠ EPB ......... (2)
(1) Δ DAP तथा Δ EBP में
AP = BP ....... (दिया है )
∠ BAD = ∠ ABE ..(दिया है )
∠ DPA = ∠ EPB ....समी० (2) से
ASA सर्वांगसमता नियम से
Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE (BY CPCT) Proved
Q8. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण हैं, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु हैं | C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढाया गया है कि DM = CM हैं | बिंदु D को B से मिला दिया जाता है | दर्शाइए कि :
(i) Δ AMC ≅ Δ BMD
(ii) ∠ DBC एक समकोण है
(iii) Δ DBC ≅ Δ ACB
(iv) CM = ½ AB